Question

在平面直角坐標系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于點A，AC=2，BD⊥AB于點B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動點P（不與A、B兩點重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點P的關聯圖形，如圖1所示.

（1）如圖2，當P運動到半圓O與y軸的交點位置時，求點P的關聯圖形的面積.

（2）如圖3，連接CD、OC、OD,判斷△OCD的形狀，并加以證明.

（3）當點P運動到什么位置時，點P的關聯圖形的面積最大，簡要說明理由，并求面積的最大值.

 

Answer 1

解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,

∵P是半圓O上的動點，P在y軸上，

∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四邊形AOPC是正方形，

∴正方形的面積是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，

∴梯形OPDB的面積=,

∴點P的關聯圖形的面積是12.  

（2）判斷△OCD是直角三角形.

證明：延長CP交BD于點F.則四邊形ACFB為矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，

又∵四邊形AOPC是正方形，∴∠OCP=45°，

∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD.

∴△OCD是直角三角形…

（3）連接OC交半圓O于點P，則點P記為所確定的點的位置.  

理由如下：連接CD，梯形ACDB的面積=為定值，

要使點P的關聯圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，∵CD為定長，∴P到CD的距離就要最小.

連接OC，設交半圓O于點P，∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°，過C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴OC⊥CD,OC=2,∴PC在半圓外，設在半圓O上的任意一點P^‘到CD的距離為P^‘H,則P^‘H+P^‘O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P^′H> PC,

∴當點P運動到半圓O與OC的交點位置時，點P的關聯圖形的面積最大.  

∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面積=，

又∵梯形ACDB的面積=，

∴點P的關聯圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積=16-（8-4）=8+4.