Question

12．如圖已知二次函數(shù)y=ax²圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線 y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)（8，8），直線與x軸的交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為B．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式與B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A，B不重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)線段PD的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍（圖1）；
（3）在（2）的條件下，連接BD，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也在拋物線上移動(dòng)，線段BD也繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)BD∥x軸時(shí)（圖2），請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）由題意設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t+4），則D（t，$\frac{1}{8}$t²），根據(jù)h=PD=P_y-D_y，即可解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)BD∥x軸，B（0，4），推出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)y=4時(shí)，4=$\frac{1}{8}$x²，推出x=±4$\sqrt{2}$，推出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4$\sqrt{2}$，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把A（8，8）代入y=ax²，得a=$\frac{1}{8}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{8}$x²，
對(duì)于直線y=$\frac{1}{2}$x+4，令x=0，得y=4，
∴B（0，4）．

（2）由題意設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t+4），則D（t，$\frac{1}{8}$t²），
∴h=PD=（$\frac{1}{2}$t+4）-$\frac{1}{8}$t²=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）．

（3）∵當(dāng)BD∥x軸，B（0，4），
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y=4時(shí)，4=$\frac{1}{8}$x²，
∴x=±4$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
∴x=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=4$\sqrt{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$+4=2$\sqrt{2}$+4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$+4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，本題的突破點(diǎn)是由BD∥x軸，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，屬于中考常考題型．