Question

3．如圖，A、B是⊙O上的兩點，過O作OB的垂線交AB于C，交⊙O于E，交⊙O的切線AD于D．
（1）求證：DA=DC；
（2）當OA=5，OC=1時，求DA及DE的長．

Answer 1

分析 （1）要證明DA=DC，只要證明∠ACD=∠CAD即可，根據題目中的條件可以得到∠ACD=∠CAD，結論得以證明；
（2）根據（1）中的結論和勾股定理可以求得DA及DE的長．

解答 （1）證明：∵OB⊥OC，OA⊥AD，
∴∠BOC=90°，∠OAD=90°，
∴∠BCO+∠OBC=∠OAC+∠CAD=90°，
∵OB=OA，
∴∠OBC=∠OAC，
∴∠BCO=∠CAD，
∵∠BCO=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴DA=DC；
（2）解：∵OA=5，OC=1，∠OAD=90°，DA=DC，
∴設DA=x，
則5²+x²=（x+1）²，
解得，x=12，
∴DA=12，OD=13，
∵OE=OA，
∴OE=5，
∴DE=OD-OC=13-5=8．

點評 本題考查切線的性質，解答此類題目的關鍵是明確題目中所要證明的結論和所要解答的問題，然后根據數形結合和勾股定理的相關知識解答．