Question

11．某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖1所示）是邊長為0.6米的正方ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為50元、40元、30元，若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
（1）判斷圖2中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
（2）E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？

Answer 1

分析 （1）圖（2）可以看作是由四塊圖（1）所示地磚繞C點按順（逆）時針方向旋轉90°后得到的，故CE=CF=CG．所以△CEF是等腰直角三角形．因此四邊形EFGH是正方形．
（2）費用由三部分的費用組成，因此需求各個部分的面積．因為CE=CF，所以可設CE=x，用含x的式子表示各部分的面積，得出費用的表達式，再運用函數性質解答．

解答 解：（1）四邊形EFGH是正方形，
圖（2）可以看作是由四塊圖（1）所示地磚繞C點按順（逆）時針方向旋轉90°后得到的，
故CE=CF=CG．
∴△CEF是等腰直角三角形．
∴四邊形EFGH是正方形；

（2）設CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費用為y，
那么y=$\frac{1}{2}$x²×50+$\frac{1}{2}$×0.4×（0.4-x）×40+[0.16-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$×0.4×（0.4-x）]×30
=10x²-3x+12.6
=10[（x-0.15）²+12.375（0＜x＜0.6）．
當x=0.15時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.15．
答：當CE=CF=0.15米時，總費用最省．

點評 此題主要考查了一元二次方程的應用以及圖形面積求法等知識，借助數形結合得出圖形面積關系是解題關鍵．