Question

14．如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線l，過點(diǎn)B作BD⊥l，垂足為D，BD與⊙O交于點(diǎn)E，連接OC，CE，AE，AE交OC于點(diǎn)F．
（1）求證：△CDE≌△EFC；
（2）若AB=4，連接AC．
①當(dāng)AC=2時(shí)，四邊形OBEC為菱形；
②當(dāng)AC=2$\sqrt{2}$時(shí)，四邊形EDCF為正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，首先證明四邊形CFED是矩形，由此即可解決問題．
（2）①當(dāng)AC=2時(shí)，四邊形OCEB是菱形．連接OE，只要證明△EOB，△COE都是等邊三角形即可解決問題．
②當(dāng)四邊形DEFC是正方形時(shí)，可以證明AE是⊙O是直徑，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，

∵BD⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵CD是切線，
∴∠FCD=90°，
∴四邊形CFED矩形，
∴CF=DE，EF=CD，
在△CDE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EF}\\{CE=EC}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①當(dāng)AC=2時(shí)，四邊形OCEB是菱形．
理由：連接OE．

∵AC=OA=OC=2，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，
∵∠AFO=90°，
∴∠EAB=30°，
∵∠AEB=90°，
∴∠B=60°，∵OE=OB，
∴△OEB是等邊三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=180°-60°-60°=60°，∵CO=OE，
∴△COE是等邊三角形，
∴CE=CO=OB=EB，
∴四邊形OCEB是菱形．
故答案為2．
②當(dāng)四邊形DEFC是正方形時(shí)，

∵CF=FE，
∵∠CEF=∠FCE=45°，
∵OC⊥AE，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直徑，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$．
∴AC=2$\sqrt{2}$時(shí)，四邊形DEFC是正方形．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．