Question

4．閱讀下列解題過程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）×（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
請回答下列問題：
（1）歸納：觀察上面的解題過程，請直接寫出下列各式的結果．
①$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；②$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（2）應用：求$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$的值；
（3）拓廣：$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$-$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$-$\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{7}}$=-1．

Answer 1

分析 （1）①直接利用找出分母有理化因式進而化簡求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式進而化簡求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式進而化簡求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式進而化簡求出答案．

解答 解：（1）①$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{1×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
②$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\frac{1×（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）}{（\sqrt{n}+\sqrt{n-1}）（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
故答案為：$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；

（2）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{10}$-$\sqrt{9}$
=$\sqrt{10}$-1；

（3）$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$-$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$-$\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{7}}$
=$\frac{\sqrt{3}+1}{（\sqrt{3}-1）（\sqrt{3}+1）}$-$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{（\sqrt{5}-\sqrt{3}）（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}$+$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{（\sqrt{7}-\sqrt{5}）（\sqrt{7}+\sqrt{5}）}$-$\frac{\sqrt{9}+\sqrt{7}}{（\sqrt{9}-\sqrt{7}）（\sqrt{9}+\sqrt{7}）}$
=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$-$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{\sqrt{9}+\sqrt{7}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{9}-\sqrt{7}}{2}$
=-1．
故答案為：-1．

點評 此題主要考查了分母有理化，正確找出分母有理化因式是解題關鍵．