Question

1．二次函數(shù)y=ax²+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且A（-1，0）、B（4，0）
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式
（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱軸m與x軸交于點(diǎn)E，CD⊥m，垂足為D，點(diǎn)F（-$\frac{7}{6}$，0），動(dòng)點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動(dòng)，連接CF、CN、FN，若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△FEN相似，求點(diǎn)N的坐標(biāo)
（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若∠PMA=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸，然后求得CD，EF的長，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，a）則ND=4-a，NE=a，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程，然后可求得a的值；
（3）過點(diǎn)A作AD∥y軸，過點(diǎn)M作DM∥x軸，交點(diǎn)為D，過點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．則△AME為等腰直角三角形，然后再求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可得到MD=2，AD=6，然后證明∴△ADM≌△AFE，于是可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求得EM的解析式為y=-2x+8，最后求得直線EM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-4a=4，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4．
（2）x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$．
∴CD=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{8}{3}$．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，a）則ND=4-a，NE=a．
當(dāng)△CDN∽△FEN時(shí)，$\frac{EN}{DN}=\frac{EF}{CD}$，即$\frac{a}{4-a}=\frac{′16}{9}$，解得a=$\frac{64}{25}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{64}{25}$）．
當(dāng)△CDN∽△NEF時(shí)，$\frac{CD}{NE}=\frac{DN}{EF}$，即$\frac{a}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{4-a}$，解得：a=2．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，2）．
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{64}{25}$）或（$\frac{3}{2}$，2）．
（3）如圖所示：過點(diǎn)A作AD∥y軸，過點(diǎn)M作DM∥x軸，交點(diǎn)為D，過點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．

∵AM=AE，∠MAE=90°，
∴∠AMP=45°．
將x=1代入拋物線的解析式得：y=6，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）．
∴MD=2，AD=6．
∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，
∴∠DAM=∠FAE．
在△ADM和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE=90°}\\{∠DAM=∠FAE}\\{AM=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△AFE．
∴EF=DM=2，AF=AD=6．
∴E（5，-2）．
設(shè)EM的解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{5k+b=-2}\end{array}\right.$，解得k=-2，b=8，
∴直線EM的解析式為y=-2x+8．
將y=-2x+8與y=-x²+3x+4聯(lián)立，解得：x=1或x=4．
將x=4代入y=-2x+8得：y=0．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形、全等三角形求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．