Question

11．如圖，已知一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B．
（1）求點A，B兩點的坐標．
（2）點M為一次函數(shù)y=x+3的圖象上一點，若△ABM與△ABO的面積相等，求點M的坐標．
（3）點Q為y軸上的一點，若△ABQ為等腰三角形，請直接寫出Q點坐標．

Answer 1

分析 （1）對于直線y=-$\frac{1}{2}$x+3，令x=0得到y(tǒng)=3，令=0得到x=6，可得A（6，0），B（0，3）．
（2）如圖1中，作OM∥AB交直線y=x+3于M，求出直線OM的解析式，利用方程組可得點M的坐標，再利用中線的性質(zhì)求出M′的坐標即可．
（3）分種情形分別討論即可解決問題．

解答 解：（1）對于直線y=-$\frac{1}{2}$x+3，令x=0得到y(tǒng)=3，令=0得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．

（2）如圖1中，作OM∥AB交直線y=x+3于M，

∵OM∥AB，
∴S_△ABM=S_△ABO，
∵直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴直線OM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標為（-2，1）．
當BM=BM′時，△ABM′與△ABM的面積相等，此時M′（2，5），
∴滿足條件的點M的坐標為（-2，1）或（2，5）．

（3）如圖2中，

在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
當BA=BQ時，點Q的坐標為（0，3+3$\sqrt{5}$）或（0，3-3$\sqrt{5}$），
當AB=AQ時，點Q的坐標為（0，-3），
當QB=QA時，設QA=QB=a，在Rt△AOQ中，∵OA²+OQ²=AQ²，
∴（a-3）²+6²=a²，
解得a=$\frac{15}{2}$，
∴OQ=BQ-OB=$\frac{9}{2}$，
∴點Q的坐標為（0，-$\frac{9}{2}$）．
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（0，3+3$\sqrt{5}$）或（0，3-3$\sqrt{5}$）或（0，-3）或（0，-$\frac{9}{2}$）．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，今天的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個函數(shù)的交點坐標，屬于中考壓軸題．