Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D為AC上一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE交BC于點F．
（1）求證：DF=EF；
（2）若△ABC的邊長為m，BE=n，且m、n滿足（m-5）²=4（n-1）-n²，求BF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）過D作DG∥AB，交BC于點G，可證明△CDG為等邊三角形，可得CD=DG，再證明△BEF≌△GDF，即可得到DF=EF；
（2）由條件結合非負數的性質可求得m、n的值，再結合（1）可求得CG=DG=BE=2，可求得BG，則可求得BF．

解答： （1）證明：
如圖，過D作DG∥AB，交BC于點G，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠CBA=60°，
∴△CDG為等邊三角形，
∴DG=CD，
又BE=CD，
∴BE=GD，
又DG∥AB，
∴∠E=∠GDF，
在△BEF和△GDF中

∠E=∠GDF ∠BFE=∠GFD BE=DG

∴△BEF≌△GDF（AAS），
∴DF=EF；
（2）解：
∵（m-5）²=4（n-1）-n²，
∴（m-5）²+（n-2）²=0，
∴m=5，n=2，
∴BE=DG=CG=2，BC=5，
∴BG=BC-CG=5-2=3，
又BF=FG，
∴BF=

1

2

BG=1.5．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性質（全等三角形的對應邊、對應角相等）是解題的關鍵，在（2）中利用非負數的性質求得m、n的值是解題的關鍵．