Question

在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）以AD為一邊，在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時，如圖：
①若∠BAC=48°，則∠BCE=

 

；
②猜想∠BAC與∠BCE之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上移動時，（2）②中的結(jié)論是否任然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請你給出正確的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE；
（2）①△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形中對應(yīng)角相等，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得出結(jié)論；
②方法同（1）；
（3）結(jié)論不成立，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長線上時，∠BAC=∠BCE，畫出圖形正的答案即可．

解答： （1）證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：①∵△ABD≌△ACE，∠BAC=48°，
∴∠B=∠ACE．
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=∠BCE+∠BCA=180°，
則∠BCE=132°；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°；
（3）不成立．
當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長線上時，∠BAC=∠BCE．

理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．

點(diǎn)評：本題考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性質(zhì)；兩者綜合運(yùn)用，促進(jìn)角與角相互轉(zhuǎn)換，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵．