Question

19．如圖，正方形ABCD接于⊙O，延長(zhǎng)BA到E，使AE=AB，連接ED．
（1）求證：直線ED是⊙O的切線；
（2）連接EO交AD于F，若⊙O的半徑為2，求FO的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BD，則可知BD為直徑，根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件可求得∠ADE=∠ODA=45°，可求得∠ODE=90°，可證得結(jié)論；
（2）由勾股定理可求得正方形的邊長(zhǎng)，則可求得AE和AD，則可求得DE，在Rt△ODE中可求得OE的長(zhǎng)，作OM⊥AB于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理可證得EF=2OF，則可求得OF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖1，連接BD．

∵四邊形ABCD為正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直線ED是⊙O的切線；
（2）如圖2，作OM⊥AB于M，

∵O為正方形的中心，
∴M為AB中點(diǎn)，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴$\frac{EF}{FO}$=$\frac{EA}{AM}$=2，
∴EF=2FO，
∵⊙O的半徑為2，
∴OD=2，BD=4，
∴AD=AE=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DE=4，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得OE=$\sqrt{O{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OF=$\frac{1}{3}$OE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的判定及正方形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意兩種輔助線的作法，而在（2）中求得EF=2OF是解題的關(guān)鍵．