Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一個動點（不與A、C重合），PE⊥AB，點E為垂足，射線EP交$\widehat{AC}$于點F，交過點C的切線于點D．
（1）求證：DC=DP；
（2）當∠CAB=30°，點F是$\widehat{AC}$的中點時，判斷以點A、O、C、F四點為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質結合題目條件可證明∠DCP=∠DPC，則可證明DC=DP；
（2）連接BC、AF，由題目條件可證明AF=FC=BC，且△BOC為等邊三角形，可證明四邊形AOCF是菱形．

解答 （1）證明：
如圖1，連接OC，

∵CD是⊙O的切線，點C是切點，
∴OC⊥CD，即∠DCP+∠OCP=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCP=∠OAC，
∵PE⊥AB，
∴∠OAC+∠APE=90°，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠OAC+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠DPC，
∴DC=DP；
（2）解：是菱形，
理由如下：
如圖2，連接BC、AF，

∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OC=BC，
∵點F是$\widehat{AC}$的中點，
∴AF=FC=BC，
∴AF=FC=CO=OA，
∴以點A、O、C、F四點為頂點的四邊形是菱形．

點評 本題主要考查切線的性質，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵．