Question

4．已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由OB=OC即可得出∠OBC=∠OCB，根據垂直的定義即可得出∠BDC=∠CEB=90°，結合公共邊BC=CB即可證出△BDC≌△CEB（AAS），進而可得出∠EBC=∠DCB，再根據角相等即可得出AB=AC，從而證出△ABC是等腰三角形；
（2）由△BDC≌△CEB可得出BD=CE，結合OB=OC即可得出OD=OE，利用角平分線性質定理的逆定理即可得出點O在∠BAC的平分線上．

解答 （1）證明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BD、CE是△ABC的兩條高，
∴∠BDC=∠CEB=90°．
在△BDC和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEB}\\{∠DBC=∠ECB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEB（AAS），
∴∠EBC=∠DCB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：點O在∠BAC的平分線上，理由如下：
∵△BDC≌△CEB，
∴BD=CE，
又∵OB=OC，
∴OD=OE．
∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴點O在∠BAC的平分線上．

點評 本題考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，利用全等三角形的判定定理AAS證出△BDC≌△CEB是解題的關鍵．