Question

13．如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+5x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，計(jì)算即可；
（2）利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答；
（3）分PB=PA、PA=AB兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）由題意得，-1+5+n=0，
解得，n=-4，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+5x-4；
（2）y=-x²+5x-4=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為：x=$\frac{5}{2}$，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4），
∴OA=1，OB=4，
在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
①當(dāng)PB=PA時(shí)，PB=$\sqrt{17}$，
∴OP=PB-OB=$\sqrt{17}$-4，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{17}$-4），
②當(dāng)PA=AB時(shí)，OP=OB=4
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、定義三角形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式的一般步驟、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．