Question

9．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的長．

Answer 1

分析 過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥BE于點F，根據AB=2，∠A=60°可求出BE的長及∠CNF的度數，再由圓內接四邊形的性質得出∠D=90°，由此可得出四邊形CDEF是矩形，進而可得出EF的長，由BF=BE-EF可得出BF的長，根據銳角三角函數的定義可得出BC的長．

解答 解：過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥BE于點F，
∵AB=2，∠A=60°，
∴∠ABE=30°，BE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵∠B=90°，
∴∠CBE=∠B-∠ABE=90°-30°=60°．
∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∠B=90°，
∴∠D=180°-90°=90°，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴EF=CD=1，
∴BF=BE-1=$\sqrt{3}$-1．
∵∠CBE=60°，
∴BC=$\frac{BF}{cos60°}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查的是圓內接四邊形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．