Question

18．已知二次函數y=（t-4）x²-（2t-5）x+4在x=0與x=5的函數值相等
（1）求二次函數的解析式；
（2）若二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C，一次函數y=kx+b經過點B，C兩點，求一次函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，過動點D（0，m）作直線l∥x軸，其中m＞-2．將二次函數的像在直線l下方的部分沿直線l向上翻折，其余部分保持不變，得到一個新圖象M．若直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依據x=0與x=5的函數值相等列出關于t的方程，可求得t的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）令y=0時，得到關于x的方程，可求得A（1，0），B（4，0），令x=0可求得y=4，則C（0，4），設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標代入可得到關于k，b的方程，然后求得k，b的值即可；
（3）如圖1所示：當拋物線y=x²-5x+4關于y=m對稱的拋物線與直線BC沒有公共點時，直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點．先求得點C關于y=m對稱點的坐標，從而可得到拋物線y=x²-5x+4關于y=m對稱的拋物線的解析式，然后依據所得拋物線與直線BC沒有公共點可求得m的范圍；如圖2所示：直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點，然后依據所得拋物線與x軸的交點位于（0，4）下方，當x=4時，所得拋物線的y＞0列不等式組求解即可．

解答 解：（1）∵x=0與x=5的函數值相等，
∴25（t-4）-5（2t-5）+4=4，
解得t=5．
∴解析式為y=x²-5x+4．

（2）當y=0時，x²-5x+4=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）．
當x=0時，y=4，則C（0，4）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=4．
∴直線BC的解析式y=-x+4．

（3）如圖1所示：當拋物線y=x²-5x+4關于y=m對稱的拋物線與直線BC沒有公共點時，直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點．

∵點C關于y=m對稱點的坐標為（0，2m-4），
∴拋物線y=x²-5x+4關于y=m對稱的拋物線的解析式為y=-x²+5x+2m-4．
∵拋物線y=-x²+5x+2m-4與直線BC沒有公共點，
∴方程-x²+5x+2m-4=-x+4無解，
∴△＜0，即36-4×（8-2m）＜0，解得：m＜-$\frac{1}{2}$．
∵m＞-2，
∴-2＜m＜-$\frac{1}{2}$．
如圖2所示：直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點．

由函數圖象可知2m-4＜4且-4²+5×4+2m-4＞0，
解得：0＜m＜4．
綜上所述，m的取值范圍為-2＜m＜-$\frac{1}{2}$或0＜m＜4．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、求得原拋物線關于y=m對稱拋物線的解析式，以及直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點的條件是解題的關鍵．