Question

20．如圖，正比例函數y=ax與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點M（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）．
（1）求這兩個函數的表達式；
（2）如圖1，若∠AMB=90°，且其兩邊分別于兩坐標軸的正半軸交于點A、B．求四邊形OAMB的面積．
（3）如圖2，點P是反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上一點，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，PF交直線OM于點H，過作x軸的垂線，垂足為G．設點P的橫坐標為m，當m＞$\sqrt{6}$時，是否存在點P，使得四邊形PEGH為正方形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）首先證明△AMC≌△BMD，推出S_{四邊形OCMD}=S_{四邊形OAMB}，即可解決問題．
（3）設P點坐標為（x，$\frac{6}{x}$），則PE=HG=GE=$\frac{6}{x}$，OE=x，

解答 解：（1）將點M（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）分別帶入y=ax與y=$\frac{k}{x}$得：
$\sqrt{6}$=a$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$=$\frac{k}{\sqrt{6}}$，
解得：a=1，k=6．
∴這兩個函數的表達式分別為：y=x，y=$\frac{6}{x}$．

（2）如圖1中，過點M分別做x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D．

則∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD=90°-∠AMD，MC=MD=$\sqrt{6}$，
∴△AMC≌△BMD，
∴S_{四邊形OCMD}=S_{四邊形OAMB}=6．

（3）設P點坐標為（x，$\frac{6}{x}$），則PE=HG=GE=$\frac{6}{x}$，OE=x，

∵∠MOE=45°，
∴OG=GH=$\frac{6}{x}$，
∴OE=OG+GH=$\frac{12}{x}$，
∴x=$\frac{12}{x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴P點坐標為（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查反比例函數綜合題、正比例函數的應用、全等三角形的判定和性質、正方形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加輔助線構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常壓軸題．