Question

5．兩個反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內的圖象如圖所示，點P在y=$\frac{k}{x}$（的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點B，BE⊥x軸于點E，當點P在y=$\frac{k}{x}$（的圖象上運動時，以下結論：①BA與DC始終平行；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積不會發生變化；④△OBA的面積等于四邊形
ACEB的面積．其中一定正確的是①③④（填寫序號）．

Answer 1

分析 ①正確．只要證明$\frac{BD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$即可；
②錯誤．只有當四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB；
③正確．由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會發生變化；
④正確．只要證明△OBA的面積=矩形OCPD的面積-S_△ODB-S_△BAP-S_△AOC，四邊形ACEB的面積=矩形OCPD的面積-S_△ODB-S_△BAP-S_△OBE即可．

解答 解：①正確．∵A、B在y=$\frac{1}{x}$上，
∴S_△AOC=S_△BOE，
∴$\frac{1}{2}$•OC•AC=$\frac{1}{2}$•OE•BE，
∴OC•AC=OE•BE，
∵OC=PD，BE=PC，
∴PD•AC=DB•PC，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，
∴AB∥CD．故此選項正確．
②錯誤，不一定，只有當四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB；
③正確，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會發生變化；故此選項正確．
④正確．∵△ODB的面積=△OCA的面積=$\frac{k}{2}$，
∴△ODB與△OCA的面積相等，同理可得：S_△ODB=S_△OBE，
∵△OBA的面積=矩形OCPD的面積-S_△ODB-S_△BAP-S_△AOC，四邊形ACEB的面積=矩形OCPD的面積-S_△ODB-S_△BAP-S_△OBE
∴△OBA的面積=四邊形ACEB的面積，故此選項正確，
故一定正確的是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查反比例函數k是幾何意義、矩形的性質、平行線的判定等知識，本題綜合性比較強，屬于中考填空題中的壓軸題．