Question

16．閱讀下列材料，并解決后面的問題．
材料：我們知道，n個相同的因數a相乘$\underset{\underbrace{a•a…a}}{n}$可記為aⁿ，如2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log₂8（即log₂8=3），一般地，若aⁿ=b （a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log₃81（即log₃81=4）
（1）計算以下各對數的值：log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6．
（2）觀察（1）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式？log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關系式？
（3）根據（2）的結果，我們可以歸納出：log_aM+log_aN=log_aM N（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
請你根據冪的運算法則：a^m=a^m+n以及對數的定義證明該結論．

Answer 1

分析 （1）根據對數的定義進行計算即可；
（2）4×16=64，log₂4、log₂16、log₂64之間的關系根據結果得出：2+4=6，則 log₂4+log₂16=log₂64；
（3）設log_aM=x，那么有a^x=M，又設log_aN=y，那么有a^y=M，根據對數的定義可得結論．

解答 解：（1）∵2²=4，
∴log₂4=2，
∵2⁴=16，
∴log₂16=4，
∵2⁶=64，
∴log₂64=6，
故答案為：2，4，6；
（2）4×16=64，
 log₂4+log₂16=2+4=6=log₂64；
（3）設log_aM=x，那么有a^x=M，又設log_aN=y，那么有a^y=M，
故log_aM+log_aN=x+y而a^x+y=a^xa^y=MN，
根據對數的定義化成對數式為x+y=log_aMN，
∴log_aM+log_aN=log_aMN．

點評 此題考查了整式的混合運算、有理數的乘方，利用閱讀材料中的運算法則計算各式，即可確定出關系式；熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．