Question

15．如圖①，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（-2，3），點A作AB⊥y軸，垂足為點B，連接0A，拋物線y=-x²-2x+c經過點A，與x軸正半軸交于點C．
（1）求C的值；
（2）如圖②，將△OAB沿直線OA翻折，記點B的對應點為B，向左平移拋物線，使點B'恰好落在平移后隨物線的對稱軸上，設平移后拋物線的對稱軸為P，求出P點的坐標；
（3）如圖③，連接BC．設點E在x軸上，點F在拋物線上．如果以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖①，利用AB⊥y軸得到B（0，3），然后把B點坐標代入拋物線解析式可求出c的值；
（2）如圖②，設B′（a，b），利用折疊的性質得AB′=AB=2，OB′=OB=3，根據兩點間的距離公式得到$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}+（b-3）^{2}={2}^{2}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={3}^{2}}\end{array}\right.$，則解方程組可得到B′（-$\frac{36}{13}$，$\frac{15}{13}$），于是可確定P；
（3）如圖③，先確定C（1，0），由于BC只能為邊，不能為對角線，則應用EF∥BC，EF=BC可得到F點的縱坐標為3或-3，當y=3時，-x²-2x+3=3，解方程確定此時F點的坐標為（-2，3），利用平行四邊形的性質可得到對應E點坐標為（-1，0）；當y=-3時，-x²-2x+3=-3，解得方程得到F點的坐標為（-1+$\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3），利用平行四邊形的性質可確定對應的E點的坐標（-2+$\sqrt{7}$，0）或（-2-$\sqrt{7}$，0）．

解答 解：（1）如圖①，
∵點A的坐標是（-2，3），點A作AB⊥y軸，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=-x²-2x+c得c=3；

（2）如圖②，設B′（a，b），
∵△OAB沿直線OA翻折，記點B的對應點為B′，
∴AB′=AB=2，OB′=OB=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}+（b-3）^{2}={2}^{2}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={3}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{36}{13}}\\{b=\frac{15}{13}}\end{array}\right.$，
∴B′（-$\frac{36}{13}$，$\frac{15}{13}$），
∵點B'恰好落在平移后隨物線的對稱軸上，
∴P（-$\frac{36}{13}$，0）；

（3）如圖③，拋物線解析式為y=-x²-2x+3，當y=0時，-x²-2x+3=0，解得x₁=1，x₂=-3，則C（1，0），
以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則BC為邊，不能為對角線，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴F點的縱坐標為3或-3，
當y=3時，-x²-2x+3=3，解得x₁=0，x₂=-2，此時F點的坐標為（-2，3），所以E點坐標為（-1，0），
當y=-3時，-x²-2x+3=-3，解得x₁=-1+$\sqrt{7}$，x₂=-1-$\sqrt{7}$，
此時F點的坐標為（-1+$\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3），對應的E點的坐標（-2+$\sqrt{7}$，0）或（-2-$\sqrt{7}$，0），
綜上所述，E點的坐標為（-1，0），（-2+$\sqrt{7}$，0）或（-2-$\sqrt{7}$，0）．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、折疊的性質和平行四邊形的性質；會運用待定系數法求拋物線的解析式；能運用兩點間的距離公式計算線段的長；會應用分類討論的思想解決數學問題．