Question

3．如圖1，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與直線y=k′x交于A、B兩點，點A在第一象限，試回答下列問題：
（1）若點A的坐標為（3，1），則點B的坐標為（-3，-1）；當x滿足：-3≤x＜0或x≥3時，$\frac{k}{x}$≤k′x；
（2）如圖2，過原點O作另一條直線l，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q兩點，點P在第一象限．
①四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②若點A的坐標為（3，1），點P的橫坐標為1，求四邊形APBQ的面積．
（3）設點A，P的橫坐標分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m，n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據正比例函數與反比例函數的圖象的交點關于原點對稱，即可解決問題，利用圖象根據正比例函數的圖象在反比例函數的圖象的上方，即可確定自變量x的范圍．
（2）①利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可．
②利用分割法求面積即可．
（3）根據矩形的性質、正方形的性質即可判定．

解答 解：（1）∵A、B關于原點對稱，A（3，1），
∴點B的坐標為（-3，-1）．
由圖象可知，當-3≤x＜0或x≥3時，$\frac{k}{x}$≤k′x．
故答案為（-3，-1），-3≤x＜0或x≥3

（2）①∵A、B關于原點對稱，P、Q關于原點對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形；     

②∵點A的坐標為（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∵點P的橫坐標為1，
∴點P的縱坐標為3，
∴點P的坐標為（1，3），
由雙曲線關于原點對稱可知，點Q的坐標為（-1，-3），點B的坐標為（-3，-1），
如圖2，過點A、B分別作y軸的平行線，過點P、Q分別作x軸的平行線，分別交于C、D、E、F，
則四邊形CDEF是矩形，

CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
則四邊形APBQ的面積=矩形CDEF的面積-△ACP的面積-△PDB的面積-△BEQ的面積-△AFQ的面積
=36-2-8-2-8
=16． 

（3）mn=k時，四邊形APBQ是矩形，
不可能是正方形．
理由：當AB⊥PQ時四邊形APBQ是正方形，此時點A、P在坐標軸上，由于點A，P可能達到坐標軸故不可能是正方形，即∠POA≠90°．
因為mn=k，易知P、A關于直線y=x對稱，所以PO=OA=OB=OQ，所以四邊形APBQ是矩形．

點評 本題考查反比例函數綜合題、平行四邊形的判定和性質、矩形的判定和性質，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用對稱的性質解決問題，學會用分割法求面積，學會利用圖象確定自變量的取值范圍，屬于中考壓軸題．