Question

14．如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．
（1）嘗試探究：
結論1：DM、MN的數量關系是DM=MN；
結論2：DM、MN的位置關系是DM⊥MN；
（2）猜想論證：證明你的結論．
（3）拓展：如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°，其他條件不變，（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）寫出結論1和2；
（2）結論1，根據三角形中位線得：MN=$\frac{1}{2}AE$，根據直角三角形斜邊中線得：DM=$\frac{1}{2}$AF，證明△ABE≌△ADF可以得出結論；
結論2：主要證明∠NMD=∠BAD=90°即可；
（3）連接AE，交MD于點G，標記出各個角，首先證明出MN∥AE，MN=$\frac{1}{2}$AE，再有（1）的結論以及角角之間的數量關系得到∠DMN=∠DGE=90°．

解答 解：（1）結論1：DM、MN的數量關系是：DM=MN，
結論2：DM、MN的位置關系是：DM⊥MN，
故答案為：DM=MN，DM⊥MN；
（2）結論1：DM=MN，理由是：
如圖1，∵M是AF的中點，N是EF的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=FC，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∴DM=MN；
結論2，DM、MN的位置關系是：DM⊥MN，理由是：
如圖1，∵M是AF的中點，N是EF的中點，
∴MN∥AE，
∴∠NMF=∠EAF，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
Rt△ADF中，∵M是AF的中點，
∴AM=DM，
∴∠FAD=∠MDA，
∵∠FMD=∠FAD+∠MDA=∠FAD+∠BAE，
∴∠DMN=∠NMF+∠FMD=∠EAF+∠BAE+∠FAD=90°，
∴DM⊥MN；
（3）（2）中的兩個結論還成立，
證明：連接AE，交MD于點G，
∵點M為AF的中點，點N為EF的中點，
∴MN∥AE，MN=$\frac{1}{2}$AE，
由（1）同理可證，
AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
在Rt△ADF中，
∵點M為AF的中點，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∴DM=MN，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠3，
同理可證：∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°，
∴DM⊥MN．

點評 本題主要考查正方形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識點，解答本題的關鍵是利用好各小題之間的聯系，此題難度不大，但是角與角之間的數量關系有點復雜，請同學們解答的時候注意．