Question

20．如圖，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，點D是邊AB的中點，點P是邊BC上的動點，且不與B、C重合，∠DPQ=∠B，射線PQ交AC于點Q．當點Q總在邊AC上時，m的最大值是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先證明△BPD∽△CQP，得出$\frac{BD}{CP}=\frac{PB}{CQ}$，求出CQ=$\frac{1}{2}$x（m-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx，由二次函數(shù)得出當x=$\frac{1}{2}$m時，CQ取最大值，最大值為$\frac{1}{8}$m²，要使Q永遠在AC上，則CQ≤AC，即CQ≤4，得出$\frac{1}{8}$m²≤4，因此0＜m≤4$\sqrt{2}$，即可得出答案．

解答 解：設(shè)BP=x，則PC=m-x，∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DPQ=∠B，
∴∠C=∠DPQ，
∵∠PQC=180°-∠QPC-∠C，∠BPD=180°-∠DPQ-∠QPC，
∴∠PQC=∠BPD，
∴△BPD∽△CQP，
∴$\frac{BD}{CP}=\frac{PB}{CQ}$，即$\frac{2}{m-x}=\frac{x}{CQ}$，
∴CQ=$\frac{1}{2}$x（m-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx，
當x=$\frac{1}{2}$m時，CQ取最大值，最大值為$\frac{1}{8}$m²，
要使Q永遠在AC上，則CQ≤AC，即CQ≤4，
∴$\frac{1}{8}$m²≤4，
∴m²≤32，
∴0＜m≤4$\sqrt{2}$，
∴m的最大值為4$\sqrt{2}$；
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最大值問題；證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．