Question

8．如圖，拋物線y=-x²-2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積．

Answer 1

分析 （1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標．
（2）設M點橫坐標為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長d=-2m²-8m+2，將-2m²-8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．

解答 解：（1）由拋物線y=-x²-2x+3可知，C（0，3），
令y=0，則0=-x²-2x+3，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線y=-x²-2x+3可知，對稱軸為x=-1，
設M點的橫坐標為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（-m²-2m+3-2m-2）×2=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴當m=-2時矩形的周長最大．
∵A（-3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解析式y=x+3，當x=-2時，則E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$•AM•EM=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數與坐標軸的交點的求法，矩形的性質、一元二次方程的解法等知識，綜合性較強，運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．