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3.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3經過點B(-1,0)、C(3,0),交y軸于點A,
(1)求此拋物線的解析式;
(2)拋物線第一象限上有一動點M,過點M作MN⊥x軸,垂足為N,請求出MN+2ON的最大值,及此時點M坐標;
(3)拋物線頂點為K,KI⊥x軸于I點,一塊三角板直角頂點P在線段KI上滑動,且一直角邊過A點,另一直角邊與x軸交于Q(m,0),請求出實數m的變化范圍,并說明理由.

分析 (1)把點B、C兩點的坐標分別代入拋物線解析式,列出關于a、b的方程組$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$,通過解該方程組可以求得它們的值,從而得到拋物線的解析式;
(2)首先假設出M點坐標,進而表示出MN,ON的長,進而求出最值;
(3)過A作AR⊥KI于R點,分當Q在KI左側時,當Q在KI右側時,兩種情況討論可得實數m的變化范圍.

解答 解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經過點B(-1,0)、C(3,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$.
∴拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3;

(2)設M點坐標為:(x,-x2+2x+3),則ON=x,MN=-x2+2x+3,
由題意可得:MN+2ON=-x2+2x+3+2x=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
x=2時,-x2+2x+3=3,故M(2,3),
則MN+2ON的最大值為:7,此時點M的坐標為:(2,3);

(3)如圖:過A作AR⊥KI于R點,則AR=KR=1.
當Q在KI左側時,△ARP∽△PIQ.
設PI=n,則RP=3-n,
∴$\frac{1-m}{3-n}$=$\frac{n}{1}$,即n2-3n-m+1=0,
∵關于n的方程有解,△=(-3)2-4(-m+1)≥0,
得m≥-$\frac{5}{4}$;
當Q在KI右側時,
Rt△APQ中,AR=RK=1,∠AKI=45°可得OQ=5.即P為點K時,
∴m≤5.
綜上所述,m的變化范圍為:-$\frac{5}{4}$≤m≤5.

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式,二次函數的性質以及根的判別式以及二次函數最值求法等知識,正確利用分類討論得出是解題關鍵.

練習冊系列答案
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2.我們規定,若關于x的一元一次方程ax=b的解為b-a,則稱該方程為“差解方程”,例如:2x=4的解為2,且2=4-2,則該方程2x=4是差解方程.
請根據上邊規定解答下列問題:
(1)判斷3x=4.5是否是差解方程;
(2)若關于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程,求m的值.

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3.解方程或不等式組:
(1)$\frac{2}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{3}{{x}^{2}-1}$.            
(2)$\left\{\begin{array}{l}{5x-3≥2x}\\{\frac{3x-1}{2}<4}\end{array}\right.$.

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20.生產廠家檢測4個足球的質量,結果如圖所示,超過標準質量的克數記為正數,不足標準質量的克數記為負數,其中最接近標準質量的足球是(  )
A.
-3.5
B.
-0.6
C.
+0.7
D.
+2.5

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A.2B.-2C.4D.-4

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(1)求A、B、C的坐標;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積.

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15.如圖,已知:∠A=∠B,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為E,F,AD=BC.求證:AE=BF.

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12.如圖,在平面直角坐標系中,面積為16cm2的正方形AOBC的邊OA、OB分別在y軸、x軸上,點P在x軸上自左向右運動,連接PA,將PA繞點P順時針旋轉90°到PD,連接DB,設PO=xcm.

(1)OA=4cm;
(2)在點P運動的過程中,△PDB的面積可以達到正方形面積的$\frac{3}{8}$嗎?若能,請求出x的值;若不能,請說明理由.
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13.如圖,直線y=k1x+b與雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于A、B兩點,其橫坐標分別為1和5,則不等式k1x<$\frac{{k}_{2}}{x}$+b的解集是(  )
A.-5<x<-1或x>0B.0<x<1或x>5C.1<x<5D.-5<x<-1

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