Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，面積為16cm²的正方形AOBC的邊OA、OB分別在y軸、x軸上，點P在x軸上自左向右運動，連接PA，將PA繞點P順時針旋轉90°到PD，連接DB，設PO=xcm．

（1）OA=4cm；
（2）在點P運動的過程中，△PDB的面積可以達到正方形面積的$\frac{3}{8}$嗎？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由．
（3）連接AB，當點P在OB邊上（不含點O、B）運動時，以點A為圓心、以AB為半徑的圓與△PDB的邊DB相切嗎，為什么？

Answer 1

分析 （1）由正方形的面積即可得出OA的長；
（2）連接AD、AB，作DM⊥OB于M，則∠DMB=90°，由正方形的性質得出∠ABO=45°，OB=OA=4cm，由勾股定理得出AB，由旋轉的性質得出∠APD=90°，PD=PA，證出△APD是等腰直角三角形，得出∠ADP=∠ABO，證出A、P、D、B四點共圓，由圓周角定理和圓內接四邊形的性質得出∠BAD=∠BPD=∠PAO，∠ABD=90°，證出△BDM是等腰直角三角形，得出DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，證明△ABD∽△AOP，得出對應邊成比例$\frac{BD}{OP}=\frac{AB}{OA}$，求出BD=$\sqrt{2}$xcm，得出DM=xcm，由△PDB的面積和正方形的面積關系得出方程，解方程即可；（3）連接AD，如圖2所示：同（2）得：A、P、B、D四點共圓，由圓周角定理得出∠ABD=∠APD=90°，即BD⊥AB，即可得出結果．

解答 解：（1）由正方形的面積得：OA=$\sqrt{16}$=4（cm），
故答案為：4；
（2）△PDB的面積可以達到正方形面積的$\frac{3}{8}$，此時x=2；理由如下：
連接AD、AB，作DM⊥OB于M，則∠DMB=90°，如圖1所示：
∵四邊形AOBC是正方形，
∴∠ABO=45°，OB=OA=4cm，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$cm，
由旋轉的性質得：∠APD=90°，PD=PA，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°=∠ABO，
∴A、P、D、B四點共圓，
∴∠ABD+∠APD=180°，∠BAD=∠BPD=∠PAO，
∴∠ABD=90°，
∴∠OBD=45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∵∠ABD=∠AOP=90°，
∴△ABD∽△AOP，
∴$\frac{BD}{OP}=\frac{AB}{OA}$，即$\frac{BD}{x}=\frac{4\sqrt{2}}{4}$，
∴BD=$\sqrt{2}$xcm，
∴DM=xcm，
∴△PDB的面積=$\frac{1}{2}$BP•DM=$\frac{1}{2}$（x+4）•x=$\frac{1}{2}$x²+2x，
當△PDB的面積=正方形AOBC面積的$\frac{3}{8}$時，
$\frac{1}{2}$x²+2x=$\frac{3}{8}$×16，
解得：x=2或x=-6（不合題意，舍去），
∴x=2；
（3）以點A為圓心、以AB為半徑的圓與△PDB的邊DB相切；理由如下：
連接AD，如圖2所示：
同（2）得：A、P、B、D四點共圓，
∴∠ABD=∠APD=90°，
即BD⊥AB，
∴以點A為圓心、以AB為半徑的圓與△PDB的邊DB相切．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了正方形的性質、旋轉的性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、四點共圓、圓周角定理、切線的判定等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（2）和（3）中，需要證明四點共圓，運用圓周角定理和證明三角形相似才能得出結果．