Question

4．在平面直角坐標系xOy中，定義直線y=ax+b為拋物線y=ax²+bx的特征直線，C（a，b）為其特征點．設拋物線y=ax²+bx與其特征直線交于A、B兩點（點A在點B的左側）．
（1）當點A的坐標為（0，0），點B的坐標為（1，3）時，特征點C的坐標為（3，0）；
（2）若拋物線y=ax²+bx如圖所示，請在所給圖中標出點A、點B的位置；
（3）設拋物線y=ax²+bx的對稱軸與x軸交于點D，其特征直線交y軸于點E，點F的坐標為（1，0），DE∥CF．
①若特征點C為直線y=-4x上一點，求點D及點C的坐標；
②若$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2，則b的取值范圍是$-\frac{1}{2}≤b＜0$或$\frac{5}{8}＜b＜4$．

Answer 1

分析 （1）根據點A、B求出直線解析式，得到a、b值，即可寫出點C坐標；
（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式，即可求出點A（1，a+b），B（-$\frac{b}{a}$，0），根據圖象描出兩點即可；
（3）求出點D坐標，根據點F、C、E坐標及平行四邊形性質，即可求出特征點C的坐標，根據已知和已證得：C（a，b），E（0，b），F(xiàn)（1，0），D（-$\frac{b}{2a}$，0），由CEDF平行四邊形性質可以得出b關于a的函數關系式，利用已知$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2求出a的取值范圍，進而求出b的取值范圍；

解答 解：（1）∵A（0，0），B（1.3），
代入：直線y=ax+b，
解得：a=3，b=0，
∴直線y=3x，拋物線解析式：y=3x²，
∴C（3，0）．
故答案為：（3，0）；  

（2）聯(lián)立直線y=ax+b與拋物線y=ax²+bx，
得：ax²+（b-a）x-b=0，
∴（ax+b）（x-1）=0，
解得：x=-$\frac{b}{a}$，x=1，
∴A（1，a+b），B（-$\frac{b}{a}$，0）．
點A、點B的位置如圖所示；


（3）①如圖，

∵特征點C為直線y=-4x上一點，
∴b=-4a．
∵拋物線y=ax²+bx的對稱軸與x軸交于點D，
∴對稱軸$x=-\frac{b}{2a}=2$．
∴點D的坐標為（2，0）．
∵點F的坐標為（1，0），
∴DF=1．
∵特征直線y=ax+b交y軸于點E，
∴點E的坐標為（0，b）．
∵點C的坐標為（a，b），
∴CE∥DF．
∵DE∥CF，
∴四邊形DECF為平行四邊形．
∴CE=DF=1．
∴a=-1．
∴特征點C的坐標為（-1，4）．
②由已知和已證得：
C（a，b），E（0，b），F(xiàn)（1，0），D（-$\frac{b}{2a}$，0），
∵$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{OE}{OD}$＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜|$\frac{b}{-\frac{b}{2a}}$|＜2，
解得：$\frac{1}{2}$＜|2a|＜2，
∴-1＜a＜-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}$＜a＜1，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE=DF，
由題意可得：1+$\frac{b}{2a}$=a，（可以畫出三種圖象，由此得出這個結論）
整理得：b=2a²-2a
即：b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
當b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$時，
當-1＜a＜-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{5}{8}＜b＜4$．
當$\frac{1}{4}$＜a＜1時，可得-$\frac{1}{2}$≤b＜0
綜上所述：$\frac{5}{8}＜b＜4$或-$\frac{1}{2}$≤b＜0．

點評 題目考查了新定義特征點、特征線及二次函數綜合應用，題目整體難易適中，對學生最大的難點在于對新定義的理解．適合學生對中考壓軸題目訓練．