Question

16．如圖，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF與BE交于點D．有下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上；④點C在AB的中垂線上．以上結(jié)論錯誤的有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)垂直的定義得到∠AFC=∠AEB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B=∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF（ASA），故①選項正確，由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，于是得到△BDF≌△CDE，選項②正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF，AC=AB，連接AD，證得Rt△AFD≌Rt△AED（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAF=∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，而點F不一定是AB的中點，故④錯誤．

解答 證明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠AFC=∠AEB=90°，故在Rt△AEB中，∠B=90°-∠A，在Rt△AFC中∠C=90°-∠A，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{AB=AC}\\{∠B=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
故①選項正確，
由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，
在△BDF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠CED=90°}\\{∠B=∠C}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE，選項②正確，
∵△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，AC=AB，
連接AD，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴∠DAF=∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，
而點F不一定是AB的中點，故④錯誤．
故選A．

點評 本題主要考查了垂直定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，熟記三角形判定定理是解決問題的關(guān)鍵．