Question

7．在Rt△ABC中，AB=AC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點O放在斜邊AC的中點上，將三角板繞點O旋轉．
（1）如圖1，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關系（無需證明）
（2）如圖2，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長線于E、F兩點，連接EF，判斷①中的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OB，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF，由勾股定理即可得出結論；
（2）連接OB，求出OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；

解答 解：（1）猜想：AE²+CF²=EF²，
連接OB，如圖1，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點為AC的中點，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．
∴∠EOB=∠FOC，
在△OEB和△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠EBO=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；
（2）成立．理由如下：
連接OB．如圖2，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點為AC的中點，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
在△OEB和△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠EBO=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²．

點評 本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及到的知識點是等腰直角三角形性質，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，解答本題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質以及相似三角形的性質定理，此題有一定的難度．