Question

20．如圖，在等邊三角形ABC中，D為邊AC的中點，DG∥BC交AB于點G，E為BC延長線上的一點，且∠EDF=120°，DF交AB于點F．
（1）求證：△CDE≌△GDF；
（2）求證：AF-CE=$\frac{1}{2}$AB；
（3）連接BD，已知AB=8，DF=2$\sqrt{6}$，求∠BDF的度數．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，求出DG=DC，∠GDF=∠CDE，根據ASA推出△DCE≌△DGF即可；
（2）根據全等三角形的性質得出CE=GF，即可得出答案；
（3）過D作DH⊥BC于H，于是得到三角形HDE是直角三角形，求得∠HDC=30°，根據全等三角形的性質得到DE=DF=2$\sqrt{6}$，解直三角形得到CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=4，根據勾股定理得到DH=2$\sqrt{3}$，證得HE=$\sqrt{D{E}^{2}-D{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$=DH，得到∠HDE=∠E=45°，即可得到結論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵D為AC的中點，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠B=∠ADG=∠C=60°，
∴△ADG為等邊三角形．
∴AG=DG=AD，
∴DG=DC，
∵∠EDF=∠GDC=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
在△DCE和△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠DCE}\\{DC=DG}\\{∠GDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DGF；

（2）∵△DCE≌△DGF，
∴CE=GF，
∴AF-CE=AF-GF=AG=$\frac{1}{2}$AB；

 （3）過D作DH⊥BC于H，則三角形HDE是直角三角形，且∠HDC=30°，
∵△DCE≌△DGF，
∴DE=DF=2$\sqrt{6}$，
在Rt△HDC中，∵∠ACH=60°，
CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DH=2$\sqrt{3}$，則HE=$\sqrt{D{E}^{2}-D{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$=DH，
∴∠HDE=∠E=45°，
∴∠CDE=∠HDE-∠HDC=15°，
∴∠GDF=15°，
∴∠BDF=90°-60°-15°=15°．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出△DCE≌△DGF，注意：等邊三角形的三邊都相等，等邊三角形的每個角都等于60°．