Question

5．如圖，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD，BC交于點P，聯結CP．
（1）求證：CP平分∠ACB；
（2）如圖（1），當△ABC為等邊三角形時，求證：EP=DP；
（3）如圖（2），當△ABC不是等邊三角形，但∠ACB=60°，（2）中的結論是否還成立？如果不成立，請說明理由；如果成立，請證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過P作PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，PH⊥BC于H，根據角平分線的性質得到PF=PE，PF=PD，等量代換得到PE=PD，根據角平分線的判定即可得到結論；
（2）利用等邊三角形的性質可以得到相等的線段和相等的角，進而可以證明EP=DP；
（3）上題的結論仍然成立，并且具有類似的證明方法．

解答 證明：（1）如圖1，過P作PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，PH⊥BC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴PF=PE，
∵BE平分∠ABC，
∴PF=PD，
∴PE=PD，
∴CP平分∠ACB；

（2）∵△ABC為等邊三角形，AD平分∠CAB，
∴PD⊥BC，
同理，PE⊥AC，
作PF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，
∴PE=PF，
同理PD=PF
∴PD=PE；

（2）EP=DP依然成立；
證明：不妨設∠CAB＜∠CBA
如圖2，作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，
則點H在線段CE上，點M在線段BD上，
∵∠CAB和∠ACB的平分線AD、BE交于點P，∴PH=PQ=PM，
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°，
∵AD、BE分別平分∠CAB、∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=60°，
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°，
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°，
∴∠CEP=∠ADB，
在△PHE和△PMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEP=∠MDP}\\{∠EHP=∠DMP}\\{PH=PM}\end{array}\right.$，
∴△PHE≌△PMD，
∴PE=PD．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，解題的關鍵是正確的利用等邊三角形的性質．