Question

17．如圖，正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，將正方形沿CE折疊，點(diǎn)B落在正方形內(nèi)一點(diǎn)B'處，若△AB'D為等腰三角形，則BE的長(zhǎng)度為4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是正方形，得到AB=BC=CD=AD，
①當(dāng)AD=B′D時(shí)，如圖1，由翻折的性質(zhì)得，B′C=BC，推出△CDB′是等邊三角形，得到∠B′DC=60°，∠ADB′=30°，過(guò)B′作B′G⊥AD于G，B′F⊥AB于F，根據(jù)勾股定理得到BE=4-2$\sqrt{3}$；②當(dāng)AB′=B′D時(shí)，如圖2，則B′在AD的垂直平分線上，推出B′在BC的垂直平分線上，得到BB′=CB′，由翻折的性質(zhì)得，B′C=BC，推出△BB′C是等邊三角形，解直角三角形得到BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，③當(dāng)AB′=AD時(shí)，則AB=AB′，推出EC垂直平分BB′，得到A與E重合，B′與D重合，不符合題意，舍去．于是得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
①當(dāng)AD=B′D時(shí)，如圖1，
由翻折的性質(zhì)得，B′C=BC，
∴B′D=B′C=CD，
∴△CDB′是等邊三角形，
∴∠B′DC=60°，
∴∠ADB′=30°，
過(guò)B′作B′G⊥AD于G，B′F⊥AB于F，
∴AF=B′G=$\frac{1}{2}$×2=1，DG=$\sqrt{3}$，
∴AG=FB′=2-$\sqrt{3}$，
∵BE=B′E，EF=1-BE，
∴（2-$\sqrt{3}$）²+（1-BE）²=BE²，
∴BE=4-2$\sqrt{3}$；
②當(dāng)AB′=B′D時(shí)，如圖2，
則B′在AD的垂直平分線上，
∴B′在BC的垂直平分線上，
∴BB′=CB′，
由翻折的性質(zhì)得，B′C=BC，
∴△BB′C是等邊三角形，
∴∠BCE=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
③當(dāng)AB′=AD時(shí)，則AB=AB′，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴點(diǎn)E、C在BB′的垂直平分線上，
∴EC垂直平分BB′，
∴A與E重合，
∴B′與D重合，不符合題意，舍去．
綜上所述，BE的長(zhǎng)為4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換，翻折的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．