Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PD⊥AB，垂足為D，射線DP交$\widehat{AC}$于點E，交過點C的切線于點F．
（1）求證：FC=FP；
（2）若∠CAB=30°，當E是$\widehat{AC}$的中點時，判斷以A，O，C，E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據切線的性質得出OC⊥CF以及∠OAC=∠OCA得∠FCP=∠FPC，可證得結論；
（2）由∠CAB=30°易得△AOE、△EOC均是等邊三角形，可得AE=AO=OC=CE，易得以A，O，C，E為頂點的四邊形是菱形．

解答 （1）證明：連接OC     
∵CF是⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
∴∠FCA+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵PD⊥AB，
∴∠PAD+∠APD=90°，
而∠APD=∠CPF，
∴∠PAD+∠CPF=90°，
∴∠FCP=∠FPC，
∴FC=FP；

（2）解：以A，O，C，E為頂點的四邊形是菱形，
理由如下：
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，從而∠AOC=120°，
∵E是$\widehat{AC}$的中點，
∴∠AOE=∠EOC=60°，
∴△AOE、△EOC均是等邊三角形，
∴AE=AO=OC=CE，
∴四邊形AOCE是菱形．

點評 本題主要考查了切線的性質、圓周角定理和等邊三角形的判定等，作出恰當的輔助線利用切線的性質是解答此題的關鍵．