Question

5．已知半圓O的半徑為$\sqrt{5}$．
①如圖1，正方形DEFG是半圓的內(nèi)接正方形，則正方形DEFG的邊長為2
②如圖2，正方形DEFG和正方形ECNM彼此相鄰且內(nèi)接于半圓O，則這兩個正方形的邊長分別是2，1，其面積之和為5
③如圖3，在半圓O中，放入正方形DEFG和正方形CEMN，使得邊DE，CE在半徑AB上，點G、N分別在半圓弧上．請問這兩個正方形的面積之和有變化嗎？若沒有變化，請證明；若有變化是否存在某種規(guī)律？求這兩個正方形的周長之和的最大值和最小值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用半圓的性質(zhì)和勾股定理即可求出正方形的邊長，
（2）借助（1）的結(jié)論，再用勾股定理即可求出小正方形的邊長，最后用面積公式即可；
（3）設(shè)出兩個正方形的邊長，利用勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論，再找出分界點即可得出周長之和的最大值和最小值．

解答 解：（1）如圖1，正方形DEFG是半圓的內(nèi)接正方形，
∴點O是DE中點，
∴OD=OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$GD，
在Rt△COD中，OD²+GD²=OC²，
∴（$\frac{1}{2}$GD）²+GD²=5，
∴GD=2，
故答案為2，
（2）如圖2，同（1）的方法得出OE=1，連接ON，
∵正方形ECNM彼此相鄰且內(nèi)接于半圓O，
∴CE=CN，
在Rt△OCN中，OC=OE+CE=OE+CN=1+CN，ON=$\sqrt{5}$，
∴OC²+CN²=ON²，
∴（1+CN）²+CN²=5，
∴舍負取正得，CN=1，
∴S_{正方形DEFG}+S_{正方形ECNM}=2²+1²=5，
故答案為：2，1；5，
（3）這兩個正方形的面積之和沒有變化
理由：如圖3，連接ON，OG，
設(shè)正方形CDMN的邊長為a，正方形DEFG的邊長為b，
∴OD=$\sqrt{O{G}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{5-^{2}}$，OC=$\sqrt{5-{a}^{2}}$，
∵OE=OC-CE=DE-OD，
∴$\sqrt{5-{a}^{2}}$-a=b-$\sqrt{5-^{2}}$，
∴$\sqrt{5-{a}^{2}}$+$\sqrt{5-^{2}}$=a+b，
∴a²+b²=5=（$\sqrt{5}$）²，
即：兩個正方形的面積之和始終是半圓的半徑的平方；
∴兩個正方形的周長之和為4（a+b），
當(dāng)半圓中放兩個一樣大的正方形時，此時周長之和最大，
∴a=b，
∵a²+b²=5，
∴a=b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴兩個正方形的周長之和最大為4$\sqrt{10}$，
當(dāng)半圓中放一個最大的正方形，再放一個最小的正方形時，此時周長之和最小，
即：（1）的情況，兩個正方形的周長之和最小為4（2+1）=12．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的面積和周長，解本題的關(guān)鍵是得出a²+b²=5．