Question

6．一個邊長為4的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E．
（1）求CE的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC，由等腰三角形的性質可得BD=2，根據勾股定理得出AD=2$\sqrt{3}$，結合等邊三角形ABC與⊙O等高且⊙O與BC相切于點C得OC=$\sqrt{3}$、∠OCD=90°，作OF⊥CE于點F，從而知∠OCF=30°，利用三角函數求得CF的長，最后根據勾股定理得CE=2CF；
（2）由（1）知OF⊥CE、∠OCF=30°從而得∠COF=60°、OF=OCsin∠OCF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，繼而知∠COE=120°，根據S_陰影=S_扇形COE-S_△COE可得答案．

解答 解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D，

∵三角形ABC為等邊三角形，且AB=BC=4，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠ACB=60°，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵等邊三角形ABC與⊙O等高，且⊙O與BC相切于點C，
∴OC=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，∠OCD=90°，
過點O作OF⊥CE于點F，
∴∠OCF=∠OCD-∠ACB=30°，
∴CF=OCcos∠OCF=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則CE=2CF=3；

（2）由（1）知OF⊥CE，∠OCF=30°，
∴∠COF=60°，OF=OCsin∠OCF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COE=120°，
則S_陰影=S_扇形COE-S_△COE
=$\frac{120•π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查等邊三角形的性質、垂徑定理、切線的性質、三角函數的應用、勾股定理及扇形的面積公式，熟練掌握等邊三角形的性質及垂徑定理得出圓的半徑及圓心角的度數是解題的關鍵．