Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=5，CD=2．以A為圓心，AD為半徑的圓與BC邊相切于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)E，將扇形A-DME剪下圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（　　）

• A． 1
• B． 4
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 如圖，作CF⊥AB于F，連接AM．則四邊形ADCF是矩形，再證明△AMB≌△CFB，推出BM=BF=3，在Rt△AMB中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，由題意2π•r=$\frac{1}{4}$•2π•4，推出r=1，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作CF⊥AB于F，連接AM．

∵AD∥CF，CD∥AF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴∠A=90°，
∴四邊形ADCF是矩形，
∴AD=CF=AM，CD=AF=2，
∵AB=5，∴BF=3，
在△AMB和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠CFB=90°}\\{∠B=∠B}\\{AM=CF}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CFB，
∴BM=BF=3，
在Rt△AMB中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，
由題意2π•r=$\frac{1}{4}$•2π•4，
∴r=1，
∴h=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．