Question

4．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，將PB繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到BM，連結(jié)MP、MC．
（1）觀察并猜想AP，CM的大小，并說(shuō)明理由．
（2）若PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，判斷△CPM的形狀并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出BP=BM；
（2）利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證三邊關(guān)系得出結(jié)論即可．

解答 解：（1）AP=CM，理由如下：
∵將PB繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到BM，
∴∠PBM=60°，BP=BM，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴∠MBC=∠ABP，
在△ABP與△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBM}\\{PB=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCM，
∴AP=CM；

（2）∵PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，
∵CP=4，CM=2，PM=PB=2$\sqrt{3}$
∴CP²=16，CM²=4，PM²=12，
4+8=12≠16，
即CM²+PM²=CP²；
∴△CPM是直角三角形，

點(diǎn)評(píng) 此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定以及勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)．