Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，Q（3，4），P是在以Q為圓心，2為半徑的⊙Q上一動點，A（1，0）、B（-1，0），連接PA、PB，則PA²+PB²的最小值是20．

Answer 1

分析 設點P（x，y），表示出PA²+PB²的值，從而轉化為求OP的最值，畫出圖形后可直觀得出OP的最值，代入求解即可．

解答 解：設P（x，y），
∵PA²=（x+1）²+y²，PB²=（x-1）²+y²，
∴PA²+PB²=2x²+2y²+2=2（x²+y²）+2，
∵OP²=x²+y²，
∴PA²+PB²=2OP²+2，
當點P處于OQ與圓的交點上時，OP取得最值，
∴OP的最小值為OQ+PQ=5-2=3，
∴PA²+PB²最小值為20．
故答案為：20．

點評 本題考查了圓的綜合，解答本題的關鍵是設出點P坐標，將所求代數式的值轉化為求解OP的最小值，難度較大．