Question

6．如圖，OA，OC都是⊙O的半徑，點B在OC的延長線上，BA與⊙O相切于點A，連接AC，若AC=2，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，則⊙O的半徑長為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作直徑AD，連接CD，如圖，利用圓周角定理得到∠ACD=90°，再根據切線的性質得∠DAB=90°，則利用等角的余角相等得到∠D=∠BAC，所以tanD=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，然后在Rt△ACD中利用正切定義可計算出CD=4，利用勾股定理可計算出直徑AD的長．從而得到⊙O的半徑．

解答 解：作直徑AD，連接CD，如圖，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵BA與⊙O相切于點A，
∴OA⊥AB，
∴∠DAB=90°，即∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC，
∴tanD=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ACD中，tanD=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{2}{CD}$=$\frac{1}{2}$，解得CD=4，
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半徑長為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了正切的定義．