Question

15．已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列6個結論正確的有5個
①ac＜0  ②2a+b=0  ③4a+2b+c＞0  ④對于任意x均有ax²+bx≥a+b
⑤3a+c=0   ⑥b+2c＜0   ⑦當x＞1時，y隨著x的增大而減小．

Answer 1

分析 根據拋物線的開口向上，得到a＞0，由于拋物線與y軸交于負半軸，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正確；根據拋物線與x軸交于（-1，0），（3，0），得到對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，于是得到2a+b=0，故②正確；把x=2代入還是解析式得到4a+2b+c＜0，故③錯誤；由于x=1，a+b+c最小，于是得到對于任意x均有ax²+bx≥a+b，故④正確；把x=-1代入解析式得到a-b+c=0，把-b=2a代入上式于是得到a+2a+c=3a+c=0，故⑤正確；根據a＞0，對稱軸在y軸的右側，得到b＜0，于是得到b+2c＜0，故⑥正確；根據二次函數的性質當x＞1時，y隨著x的增大而增大，故⑦錯誤．

解答 解：∵拋物線的開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正確；
∵拋物線與x軸交于（-1，0），（3，0），
∴對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴2a+b=0，故②正確；
當x=2時，4a+2b+c＜0，故③錯誤；
當x=1時，a+b+c最小，
∴對于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，
∴對于任意x均有ax²+bx≥a+b，故④正確；
當x=-1時，a-b+c=0，
∵2a+b=0，
∴-b=2a，
∴a+2a+c=3a+c=0，故⑤正確；
∵a＞0，對稱軸在y軸的右側，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴b+2c＜0，故⑥正確；
∵當x＞1時，y隨著x的增大而增大，故⑦錯誤．
∴正確的有①②④⑤⑥共5個，
故答案為：5．

點評 本題考查了二次函數的性質，二次函數與x軸的交點，正確識別圖象是解題的關鍵．