Question

3．如圖，AB=4，以AB為直徑作半圓，C為半圓周上一點，D為△ABC內心，△ABD的外接圓半徑為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據內心的性質得到∠ADB=135°，根據圓內接四邊形的性質、圓周角定理得到∠AIB=90°，根據等腰直角三角形的性質計算即可．

解答 解：∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵D為△ABC內心，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-45°=135°，
設△ABD的外接圓的圓心為I，
則∠AIB=90°，
∴△ABD的外接圓的半徑為：4×sin45°=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心、內切圓與內心，掌握圓周角定理、圓內接四邊形的性質、勾股定理是解題的關鍵．