Question

10．已知a、b是方程x²-3x+m-1=0（m≠1）的兩根，在直角坐標系下有A（a，0）、B（0，b），以AB為直徑作⊙M，則⊙M的半徑的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系可得a+b=3，由勾股定理可得出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，根據完全平方公式可得出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），代入a+b的值即可得出AB的最小值，再結合半徑與直徑的關系即可得出結論．

解答 解：∵a、b是方程x²-3x+m-1=0（m≠1）的兩根，
∴a+b=3．
∵A（a，0）、B（0，b），
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵（a+b）²=a²+b²-2ab≥0，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），當a=b時，取等號．
∴⊙M的半徑的最小值為$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了根與系數的關系、勾股定理以及兩點間的距離公式，利用完全平方公式找出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）是解題的關鍵．