Question

5．如圖，DE是△ABC的中位線，F為DE上一點，且EF=2DF，BF的延長線交AC于點H，CF的延長線交AB于點G，則S_{四邊形AGFH}：S_△BFC=（　　）

• A． 1：10
• B． 1：5
• C． 3：10
• D． 2：5

Answer 1

分析 設DF=x，EF=2x，S_△GDF=S，則DE=3x，由三角形中位線性質得BC=2DE=6x，先證明△GDF∽△GBC，利用相似三角形的性質得S_△GBC=36S，則利用三角形面積公式得到S_△BGF=6S，S_△BFC=30S，接著利用$\frac{HF}{HB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{2x}{6x}$=$\frac{HE}{HC}$=$\frac{1}{3}$得到$\frac{HF}{BF}$=$\frac{HE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，則S_△CFH=$\frac{1}{2}$S_△BCF=15S，所以S_△BCH=45S，然后利用同樣方法計算出S_△BAH=$\frac{1}{3}$S_△BCH=15S，于是得到S_{四邊形AGFH}=9S，然后計算S_{四邊形AGFH}：S_△BFC的值．

解答 解：設DF=x，EF=2x，S_△GDF=S，
則DE=3x，
∵DE是△ABC的中位線，
∴BC=2DE=6x，
∵DE∥BC，
∴△GDF∽△GBC，$\frac{GF}{GC}$=$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{S}_{△GDF}}{{S}_{△GBC}}$=（$\frac{DF}{BC}$）²，即$\frac{s}{{S}_{GBC}}$=（$\frac{x}{6x}$）²=$\frac{1}{36}$，
∴S_△GBC=36S，
∵$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△GBC}}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{1}{6}$，
∴S_△BGF=6S，
∴S_△BFC=30S，
∵EF∥BC，
∴$\frac{HF}{HB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{2x}{6x}$=$\frac{HE}{HC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{HF}{BF}$=$\frac{HE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△CFH=$\frac{1}{2}$S_△BCF=15S，
∴S_△BCH=45S，
而AE=CE，
∴AH：HC=1：3，
∴S_△BAH=$\frac{1}{3}$S_△BCH=15S，
∴S_{四邊形AGFH}=S_△BAH-S_△BGF=15S-6S=9S，
∴S_{四邊形AGFH}：S_△BFC=9S：30S=3：10．
故選C．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．在應用相似三角形的性質時，主要利用相似三角形的性質進行幾何計算．也考查了三角形面積公式．