Question

1．平面上給定3個(gè)點(diǎn)，證明：可以作出4個(gè)同心圓，使（Ⅰ）這4個(gè)圓的半徑都是其中最小圓半徑的整數(shù)倍；（Ⅱ）這4個(gè)圓所成的3個(gè)圓環(huán)中，每個(gè)含有一個(gè)已知點(diǎn)．

Answer 1

分析 連接兩個(gè)已知點(diǎn)的線段有3條，作它們的垂直平分線，在這些垂直平分線及已知3個(gè)點(diǎn)外，任取一點(diǎn)O為圓心．設(shè)O到這3個(gè)已知的距離為d₁，d₂，d₃，則它們兩兩不等且都大于0．接下來只要證明可以取得r₀，r₁，r₂，r₃為半徑的同心圓滿足所有的要求即可．

解答 證明：連接兩個(gè)已知點(diǎn)的線段有3條，作它們的垂直平分線，在這些垂直平分線及已知3個(gè)點(diǎn)外，任取一點(diǎn)O為圓心．
設(shè)O到這3個(gè)已知的距離為d₁，d₂，d₃，則它們兩兩不等且都大于0．
不妨假設(shè)0＜d₁＜d₂＜d₃，則存在有理數(shù)r₁，r₂，r₃，使得d₁＜r₁＜d₂＜r₂＜d₃＜r₃，
將它們通分得r₁=$\frac{{P}_{1}}{M}$，r₂=$\frac{{P}_{2}}{M}$，r₃=$\frac{{P}_{3}}{M}$，這里M是它們分母的公倍數(shù)．
我們可以取M足夠大，使$\frac{1}{M}$＜d₁，
令r₀=$\frac{1}{M}$，則以r₀，r₁，r₂，r₃為半徑的同心圓滿足所有的要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、同心圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，本題的突破點(diǎn)是取點(diǎn)O在這些垂直平分線及已知3個(gè)點(diǎn)外，這是關(guān)鍵，題目比較抽象，屬于屬于競賽題目．