Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3，點M是邊BC上一點，點N是邊AC上一點（不與點A、C重合），且MB=MN，則MB的取值范圍是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤MB＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以M為圓心，MN的長為半徑畫圓，當圓與AC相切時，BM最小，與線段BC相交且交點為A或C時，AD最大，分別求出即可得到范圍．

解答 解：如圖，∵Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
又∵AC=3，
∴BC=$\frac{AC}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2
以M為圓心，BM的長為半徑畫圓；
①如圖1，當圓M與AC相切時，MN⊥AC時，MN最短，即BM最短．
∵∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴MN=MB=$\frac{1}{2}$MC，
∴MB=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
②如圖2，當圓M與AC相交時，若交點為A或C，則MB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵點N不與點A、C重合，
∴此時MB=MN＜$\sqrt{3}$．
綜合①②可知，BM的取值范圍是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤MB＜$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤MB＜$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質以及含30度的直角三角形．利用邊BC與圓的位置關系解答，分清AD最小和最大的兩種情況是解決本題的關鍵．