Question

11．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)M 及頂點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸正半軸上，連結(jié)MC并延長(zhǎng)與x軸交于點(diǎn)E．
（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1.5）；
（2）若k=7，則△AEC的面積為3.5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)M（2，3）求得反比例函數(shù)解析式，由M為AB中點(diǎn)得點(diǎn)B橫坐標(biāo)，繼而由函數(shù)解析式可得其縱坐標(biāo)，即可得答案；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，$\frac{7}{a}$），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2a，$\frac{7}{2a}$）、點(diǎn)C（0，$\frac{7}{2a}$）、點(diǎn)A（0，$\frac{21}{2a}$），待定系數(shù)法求得直線CM解析式為y=$\frac{7}{2{a}^{2}}$x+$\frac{7}{2a}$，繼而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后由三角形面積公式可得答案．

解答 解：（1）將點(diǎn)M（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6，
∴y=$\frac{6}{x}$，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且M為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{6}{4}$=1.5，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1.5）；

（2）∵k=7，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{7}{x}$
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，$\frac{7}{a}$），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2a，$\frac{7}{2a}$），
∴點(diǎn)C（0，$\frac{7}{2a}$）、點(diǎn)A（0，$\frac{21}{2a}$），
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)C（0，$\frac{7}{2a}$）、M（a，$\frac{7}{a}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2a}}\\{ak+b=\frac{7}{a}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{2{a}^{2}}}\\{b=\frac{7}{2a}}\end{array}\right.$，
∴直線CM解析式為y=$\frac{7}{2{a}^{2}}$x+$\frac{7}{2a}$，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{7}{2{a}^{2}}$x+$\frac{7}{2a}$=0，
解得：x=-a，
則OE=a，
∴△AEC的面積為$\frac{1}{2}$×（$\frac{21}{2a}$-$\frac{7}{2a}$）×a=3.5，
故答案為：3.5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及線段中點(diǎn)公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)線段中點(diǎn)公式表示出所涉點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的根本，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式得出點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．