Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E在線段BC的延長線上，且CE=CD，點F是直線CD上的動點，以EF為邊作正三角形EFG，若GE⊥BE，則DF=3-$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據題意可以得到∠FEC的度數，然后根據題目中的條件和銳角三角函數，可以求得DF的長．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為3，點E在線段BC的延長線上，且CE=CD，
∴BE=6，CE=CD=3，
∵△EFG是等邊三角形，GE⊥BE，
∴∠FEC=30°，
∴tan∠FEC=$\frac{CF}{CE}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{CF}{3}$，
∴CF=$\sqrt{3}$，
∵CD=3，
∴DF=CD-CF=3-$\sqrt{3}$或DF=CD+CF=3+$\sqrt{3}$，
故答案為：3$-\sqrt{3}$或3+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正方形的性質、等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用銳角三角函數解答．