Question

19．滿足方程$\sqrt{3x-4}$+$\root{3}{5-3x}$=1的所有實數x的和為$\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 利用換元法設t=$\sqrt{3x-4}$，則x=$\frac{{t}^{2}+4}{3}$①，代入原方程后變形為：$\root{3}{1-{t}^{2}}$=1-t，兩邊立方后求出t的值，代入①式可得x的值，相加即可．

解答 解：設t=$\sqrt{3x-4}$，則x=$\frac{{t}^{2}+4}{3}$①，
原方程變形為：$\root{3}{1-{t}^{2}}$=1-t，
兩邊同時立方得：1-t²=（1-t）³，
（1-t）³-（1-t）（1+t）=0
（1-t）[（1-t）²-（1+t）]=0，
1-t=0，（1-t）²-（1+t）=0，
當1-t=0時，t=1，
當（1-t）²-（1+t）=0時，
t²-3t=0，
t=0或t=3，
依次代入①式得：x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=$\frac{4}{3}$，x₃=$\frac{13}{3}$，
∴x₁+x₂+x₃=$\frac{5}{3}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{13}{3}$=$\frac{22}{3}$，
故答案為：$\frac{22}{3}$．

點評 本題考查了無理方程的解法，利用換元法將原方程化為關于t的方程是解題的關鍵．