Question

16．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連結CF．
（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：CF+CD=BC；
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的等量關系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變；
①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；
②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相較于點O，連結OC，求OC的長度．

Answer 1

分析 （1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據此即可證得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據正方形的性質即可求得DF的長，則OC即可求得．

解答 證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）CF-CD=BC；
理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD=CF
∴BC+CD=CF，
∴CF-CD=BC；

（3）①CD-CF=BC
理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∴CD-BC=CF，
∴CD-CF=BC；

②由①知，△BAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的邊長為2且對角線AE、DF相交于點O．
∴DF=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，O為DF中點．
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=$\sqrt{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，正方形與全等三角形的判定與性質的綜合應用，判斷出△BAD≌△CAF是解本題的關鍵．