Question

14．如圖，E是正方形ABCD對角線BD上一點，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分別是求M、N
（1）求證：AE=MN；
（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的邊長．

Answer 1

分析 （1）連接EC，根據題意可得出四邊形EMCN為矩形，故MN=CE，再由SAS定理得出△ABE≌△CBE，進而可得出結論；
（2）過點E作EF⊥AD，由直角三角形的性質可得出EF及AF的長，再由等腰直角三角形的性質得出DF的長，進而可得出結論．

解答 （1）證明：連接EC．
∵四邊形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，
∴四邊形EMCN為矩形．
∴MN=CE．
又∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE=EC．
∴AE=MN．

（2）解：過點E作EF⊥AD于點F，
∵AE=2，∠DAE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=1，AF=AE•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠EDF=45°，
∴DF=EF=1，
∴AD=AF+DF=$\sqrt{3}$+1，即正方形的邊長為$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角是解答此題的關鍵．